没有质量的光子,为什么有动量?

2022-11-28 14:00:05
'一定要明确一个概念:动量是空间平移对称性对应的守恒量。写出一个物理系统的拉氏量 \mathcal L ,只要其中有动力学项,那么这个系统就可以根据空间平移对称性定义出动量,与它有没有质量项无关。对于电磁场 A^\mu ,从时空平移对称性推导出的四动量为P^\mu=\frac{\partial \mathcal L}{\partial(\partial_0A^\nu)}\partial^\mu A'

一定要明确一个概念:动量是空间平移对称性对应的守恒量。写出一个物理系统的拉氏量 \mathcal L ,只要其中有动力学项,那么这个系统就可以根据空间平移对称性定义出动量,与它有没有质量项无关。

对于电磁场 A^\mu ,从时空平移对称性推导出的四动量为
P^\mu=\frac{\partial \mathcal L}{\partial(\partial_0A^\nu)}\partial^\mu A^\nu-\mathcal Lg^{0\mu}\\=-\int d^3\bm k\frac{1}{2}k^\mu g^{\sigma\sigma'}(a_{\bm k,\lambda}a^\dag_{\bm k,\lambda}+a^\dag_{\bm k,\lambda}a_{\bm k,\lambda}) 取空间分量并做箱归一化,得到动量:
\bm p=\sum_{\bm k,\lambda=\pm}\frac{1}{2}\bm k(a_{\bm k,\lambda}a^\dag_{\bm k,\lambda}+a^\dag_{\bm k,\lambda}a_{\bm k,\lambda})
现在考虑系统的量子化,即产生算符和湮灭算符不对易
[a_{\bm k,\lambda},a_{\bm k',\lambda'}^\dag]=-g_{\lambda\lambda'}\delta_{\bm k\bm k'}
所以量子化电磁场(或者说光子系统)的动量为
\bm p=\sum_{\bm k,\lambda=\pm}\bm k(N_{\bm k,\lambda}+\frac{1}{2})
其中 N=a^\dag a 是系统中的光子数目,取值为0, 1, 2, 3……

这个公式意味着:量子化的电磁场拥有分立的动量,系统中的光子数 N 每增加1,电磁场的动量就会上升 \bm k (k是波数),即单个光子的动量为 \bm p=\bm k ,补上在自然单位制下被忽略的普朗克常数就是 \bm p=\hbar \bm k . 因为波数 k=2\pi/\lambda ,所以可以把这个式子改写成 p=h/\lambda ,这就是高中物理学的那个光子动量公式。可见,单个光子的动量只和它的波长 \lambda 有关,即使它没质量,也不影响它有动量。

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量子场论里都是用c=1的单位制,也抛弃了没啥作用的静质量动质量的概念,事实证明不需要这两个概念我们也可以给出一个相对论性的理论。

在这个单位制下能量E就是质量M,质量M就是能量E,这才是质能方程的真正含义,不是所谓的1Kg物质可以转化为多少J的能量。所以,光子有能量,就有质量,自然就有动量。

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